Công thức tính thể tích khối chóp – Lý thuyết & Bài tập ứng dụng

Khối chóp là một trong những hình khối quan trọng trong hình học không gian, xuất hiện nhiều trong thực tế từ các công trình kiến trúc, cơ khí đến thiên nhiên. Việc tính thể tích khối chóp giúp ta hiểu rõ hơn về không gian mà chúng chiếm giữ, đồng thời có ứng dụng thực tế quan trọng trong xây dựng, thiết kế và khoa học. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu công thức tính thể tích khối chóp, các dạng bài tập phổ biến và cách áp dụng vào thực tế một cách hiệu quả.

1. Khối chóp là gì?

Khối chóp là một hình không gian ba chiều, gồm:

• Một đáy là một đa giác (tam giác, tứ giác, ngũ giác,...).
• Các mặt bên là các tam giác chung một đỉnh, gọi là đỉnh chóp.

Hình khối chóp

Khối chóp có thể có nhiều dạng khác nhau tùy thuộc vào hình dạng của đáy, như:

• Khối chóp tam giác

  • Đáy là một tam giác.
  • Nếu tất cả các mặt bên là tam giác đều, nó được gọi là tứ diện đều.

• Khối chóp tứ giác

  • Đáy là một hình vuông hoặc hình chữ nhật.
  • Mỗi mặt bên là một tam giác có chung đỉnh chóp.

• Khối chóp cụt

  • Được tạo ra khi một khối chóp bị cắt ngang bởi một mặt phẳng song song với đáy.
  • Có hai mặt đáy song song với nhau, các mặt bên là hình thang.

✍ Xem thêm: Bảng tính diện tích toàn phần, xung quanh hình lạp phương tự động

2. Ứng dụng thực tế của khối chóp

Khối chóp không chỉ là một khái niệm toán học mà còn có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực thực tế.

• Kiến trúc và Xây dựng: Các công trình kiến trúc có mái hình chóp, tháp nhọn, kim tự tháp đều dựa trên nguyên lý hình học của khối chóp. Ví dụ: Kim tự tháp Ai Cập có dạng khối chóp tứ giác, Mái nhà hình chóp giúp nước mưa dễ dàng trôi xuống mà không đọng lại.
• Thiết kế và Cơ khí: Các thùng chứa, phễu rót nguyên liệu trong nhà máy thường có dạng khối chóp hoặc chóp cụt để kiểm soát dòng chảy của chất lỏng hoặc hạt rắn.
• Địa lý và Thiên văn học: Núi hình chóp, núi băng trôi được mô phỏng bằng mô hình khối chóp để nghiên cứu sự thay đổi khí hậu. Trong thiên văn, tính thể tích của các miệng hố thiên thạch giúp phân tích tác động của thiên thạch lên Trái Đất.

✍ Xem thêm: Công thức tính diện tích hình vuông và Bài tập có

3. Công thức tính thể tích khối chóp

Công thức tổng quát để tính thể tích của khối chóp:

V = 1/3 ​× S_đáy​  × h

Trong đó:

• V là thể tích của khối chóp.

• S_đáy là diện tích mặt đáy (tùy vào hình dạng của đáy mà sử dụng công thức diện tích phù hợp).

• h là chiều cao của khối chóp (đo từ đỉnh chóp xuống mặt phẳng chứa đáy theo phương vuông góc).

Công thức tính hình khối chóp

✍ Xem thêm: Bảng đổi đơn vị tổng hợp | Nhanh - chính xác nhất

4. Các trường hợp đặc biệt của khối chóp

4.1. Khối chóp tam giác

• Đáy là tam giác, có diện tích:

  S_đáy = 1/2 x a x h₁

• Áp dụng vào công thức thể tích:

  V = 1/6 x a x h₁ x h 

Ví dụ: Cho khối chóp có đáy là tam giác cạnh đáy 10 cm, chiều cao của tam giác đáy 6 cm, và chiều cao khối chóp 12 cm.

Lời giải chi tiết:

• Diện tích đáy: S_đáy = 1/2 × 10 × 6 = 30 cm²
• Thể tích: V = 1/3 × 30 × 12 = 120 cm³

Đáp số: V = 120 cm³

4.2. Khối chóp tứ giác (hình vuông hoặc chữ nhật)

• Nếu đáy là hình vuông cạnh a: 

S_đáy = a²

V = 1/3 × a² × h

• Nếu đáy là hình chữ nhật a × b:

  S_đáy = a x b

V = 1/3 × a × b × h

Ví dụ: Cho khối chóp có đáy là hình chữ nhật 8 × 6 cm, chiều cao khối chóp h = 10 cm.

Lời giải chi tiết:

• Diện tích đáy: S_đáy ​= 8 × 6 = 48 cm²
• Thể tích: V = 1/3 × 48 × 10 = 160 cm³

Đáp số: V = 160 cm³

4.3. Khối chóp cụt

• Gồm hai đáy song song với diện tích S₁ và  S₂
• Chiều cao khối chóp cụt: h

V = h/3 ​ × ( S₁​ + S₂​ + căn bậc 2 S₁ ​× S₂ ​​)

Ví dụ: Cho khối chóp cụt có diện tích đáy lớn S₁ = 36 cm², đáy nhỏ S₂ = 16 cm², và chiều cao h = 10 cm.

Lời giải:

V = 10/3 ​× ( 36 + 16 + căn bậc 2 36 × 16 ​)

Đáp số: V = 253.3 cm³

5. Các dạng bài tập vận dụng

Dạng 1: Tính thể tích khối chóp khi biết diện tích đáy và chiều cao

• Một khối chóp có đáy là hình vuông cạnh 5 cm, chiều cao 8 cm. Tính thể tích khối chóp.
• Một khối chóp có đáy là tam giác có cạnh đáy 10 cm, chiều cao tam giác đáy 6 cm, chiều cao khối chóp 12 cm. Tính thể tích.
• Khối chóp có đáy là hình chữ nhật 6 cm × 9 cm, chiều cao 15 cm. Tính thể tích.
• Một kim tự tháp có đáy là hình vuông cạnh 12 m, chiều cao từ đỉnh đến đáy là 20 m. Tính thể tích.
• Khối chóp có đáy là tam giác đều cạnh 8 cm, chiều cao khối chóp 10 cm. Tính thể tích.

Dạng 2: Tính thể tích khối chóp khi chưa biết diện tích đáy

• Một khối chóp có đáy là tam giác vuông cạnh 6 cm và 8 cm, chiều cao khối chóp 15 cm. Tính thể tích.
• Một khối chóp có đáy là hình chữ nhật 7 cm × 5 cm, chiều cao khối chóp 14 cm. Tính thể tích.
• Kim tự tháp có đáy là tam giác đều cạnh 10 m, chiều cao khối chóp 18 m. Tính thể tích.
• Khối chóp có đáy là hình vuông có đường chéo 8 cm, chiều cao 12 cm. Tính thể tích.
• Một khối chóp có đáy là tam giác cân có đáy 10 cm, chiều cao tam giác đáy 8 cm, chiều cao khối chóp 20 cm. Tính thể tích.

Dạng 3: Tính thể tích khối chóp khi chưa biết chiều cao (Sử dụng định lý Pythagoras)

• Một khối chóp có đáy là hình vuông cạnh 6 cm, đỉnh chóp cách tâm đáy 10 cm. Tính thể tích.
• Một khối chóp có đáy là tam giác đều cạnh 12 cm, đỉnh chóp nằm trên trục đối xứng của đáy và cách tâm đáy 15 cm. Tính thể tích.
• Một khối chóp có đáy là hình chữ nhật 9 cm × 12 cm, đỉnh chóp cách tâm đáy 20 cm. Tính thể tích.
• Một kim tự tháp có đáy là hình vuông cạnh 14 m, đỉnh chóp cách tâm đáy 24 m. Tính thể tích.
• Khối chóp có đáy là tam giác vuông có cạnh góc vuông 6 cm và 8 cm, đỉnh chóp cách tâm đáy 10 cm. Tính thể tích.

Dạng 4: Tính thể tích khối chóp cụt

1. Khối chóp cụt có đáy lớn 36 cm², đáy nhỏ 16 cm², chiều cao 10 cm. Tính thể tích.
2. Một khối chóp cụt có đáy là hình vuông cạnh 8 cm và 5 cm, chiều cao 12 cm. Tính thể tích.
3. Một khối chóp cụt có đáy lớn 64 cm², đáy nhỏ 25 cm², chiều cao 15 cm. Tính thể tích.
4. Khối chóp cụt có đáy là hình chữ nhật 10 cm × 6 cm và 7 cm × 4 cm, chiều cao 18 cm. Tính thể tích.
5. Một kim tự tháp cụt có đáy lớn là hình vuông cạnh 20 m, đáy nhỏ hình vuông cạnh 10 m, chiều cao 25 m. Tính thể tích.

Dạng 5: Bài toán thực tế về thể tích khối chóp

• Một căn nhà có mái hình chóp tứ giác đều với cạnh đáy 5 m và chiều cao 4 m. Hỏi thể tích không gian dưới mái nhà là bao nhiêu?
• Một bể chứa hình chóp cụt có đáy lớn 100 m², đáy nhỏ 50 m², chiều cao 6 m. Tính thể tích bể chứa.
• Một ngọn tháp hình chóp có đáy hình vuông cạnh 10 m, chiều cao tháp 30 m. Tính thể tích.
• Một tòa nhà có mái hình chóp tam giác với đáy 8 m × 6 m, chiều cao mái 5 m. Tính thể tích phần mái.
• Một kim tự tháp Ai Cập có đáy hình vuông cạnh 230 m, chiều cao 146 m. Tính thể tích.

khối chóp không chỉ là một khái niệm toán học mà còn có nhiều ứng dụng thiết thực trong đời sống. Công thức thể tích hình khối chóp là nền tảng để tính toán thể tích của mọi loại khối chóp, từ những mô hình hình học đơn giản đến các công trình kiến trúc thực tế. Việc nắm vững công thức này giúp chúng ta có thể giải quyết nhiều bài toán liên quan đến không gian, từ tính toán vật liệu xây dựng đến nghiên cứu khoa học. Hy vọng rằng qua bài viết này, bạn đã hiểu rõ hơn về khối chóp và có thể áp dụng linh hoạt trong học tập cũng như thực tế.

Ngoài ra, bạn có thể tìm hiểu thêm về các công thức tính diện tích khác:

✍ Xem thêm: Bảng đổi đơn vị tổng hợp | Nhanh - chính xác nhất

✍ Xem thêm: Công thức tính diện tích hình vuông và Bài tập có lời giải

✍ Xem thêm: Công thức tính diện tích hình tròn và Tổng hợp bài tập hay gặp

✍ Xem thêm: Công thức tính diện tích hình bình hành và Hướng dẫn giải bài tập chi tiết

✍ Xem thêm: Công thức tính diện tích hình chữ nhật và các dạng bài tập hay có trong đề thi

✍ Xem thêm: Các công thức tính diện tích hình tam giác